منحنی تنش-کرنش 

 

برای آنکه بتونیم پیش بینی درستی از رفتار ماده در برابر بار وارد شده داشته باشیم نیازمند منحنی تنش-کرنش ماده هستیم. هنگامی که جسم تحت بار خارجی قرار میگیره، تنش و کرنش معنا پیدا میکنه، چون تا زمانی که بار خارجی وارد نشده، مقدار تنش و کرنش صفره. از این منحنی خواص مهم ماده مثل مدول الاستیسته، شکل پذیری، تنش تسلیم، مقاومت نهایی و چقرمگی بدست میاد (جون الفبای عمران میدونستین این منحنی اینقدر بدرد بخوره🤔). وقتی تنش و کرنش را حساب کردیم تازه میتونیم بریم سراغ تحلیل و طراحی سازه.

 

1- تنش

 

1-1- مفهوم تنش

میله منشوری زیر تحت بار محوری P قرار داره. منظور از منشوری اینه که عضو سازه ای (میله) مستقیمه  و سطح مقطعش در سراسر طولش یکسانه. بار محوری رو هم که شما بهتر از من میدونید که محل اثر اون محور عضوه و باعث ایجاد کشش و یا فشار در میله میشه (البته تو این مثال بار محوری کششیه).

برای اینکه میله تحت بار خارجی وارده خراب نشه باید مقاومت عضو از نیروی وارده بیشتر باشه. مقاومت عضو به سطح مقطع و جنس میله بستگی دارد. با فرض جنس میله یکسان هرچه سطح مقطع عضو بیشتر باشه مقاومت عضو هم بیشتر میشه. برای اینکه مقاومت عضو تنها به نوع مصالح بستگی داشته باشد (به سطح مقطع بستگی نداشته باشه)، میتونیم از شدت نیروی وارد بر سطح استفاده کنیم. به شدت نیرو وارده بر سطح یا نسبت نیرو بر سطح (نیروی توزیع شده روی یک سطح )، تنش میگن (شما صد درصد تنش رو تجربه کردین، اخر ترم موقع امتحانا😖).

تنش بوسیله نماد یونانی سیگما (σ)  نشان داده میشه، علامت مثبت برای نشان دادن تنش کششی (هنگامی که عضو کشیده میشه➕) و علامت منفی نشان دهنده تنش فشاری (هنگامی که عضو  در فشاره➖) است. 

 

 

2-1- واحد تنش

از آنجا که تنش σ از تقسیم نیروی محوری بر مساحت مقطع عرضی بدست میاد، واحد اون نیرو بر واحد سطحه. در سیستم آحاد SI، نیرو بر حسب نیوتن (N) و مساحت برحسب مترمربعه (m^2). پس واحد تنش میشه نیوتن بر مترمربع (N ⁄ (m)^2 ) یا پاسکال (pa). چون پاسکال واحد خیلی کوچیکی برا تنشه معمولا از مگاپاسکال (Mpa)  برای تنش استفاده میشه (میدونم خیلیاتون با تبدیل واحد مشکل دارین، بچه زرنگا بگن یک مگاپاسکال چند پاسکاله؟😉).

 

2- کرنش

 

1-2- مفهوم کرنش

میله بر اثر نیروهای محوری دچار تغییر طول میشه. به تغییر طول به طول اولیه کرنش میگن. کرنش رو با حرف یونانی ε (اپسیلن) نمایش میدن. چنانچه طول اولیه میله را با حرف L و تغییر طول آن را با حرف یونانی δ (دلتا) نشان دهیم، کرنش بصورت زیر تعریف میشه:

 

 

اگه میله تحت نیروی محوری کششی قرار بگیره، کرنش رو کرنش کششی میگن، در این حالت میله بلند میشه. در صورتی که میله تحت  فشار قرار بگیره، کرنش رو کرنش فشاری میگن، در این حالت میله کوتاه میشه. معمولا کرنش کششی را مثبت و کرنش فشاری را منفی در نظر میگیرن (کرنش رو هم صد درصد تجربه کردین. بگم کجا؟ بعداز گند زدن امتحان رفتین پیش استادتون که تورخدا مارو ننداز، یادتون اومد😅🙇‍♂️) 

 

2-2- واحد کرنش

از اونجایی که کرنش نسبت بین دو طوله لذا یک کمیت بدون بعده، یعنی فاقد واحده. بنابراین کرنش تنها با یک عدد نمایش داده میشه. مقادیر عددی کرنش معمولا بسیار کوچک هستن زیرا  مواد ساختمانی معمولا بر اثر بارگذاری تغییر طول کمی میدن. به عنوان مثال یک میله فولادی به طول 1 متر را درنظر بگیرین . اگر این میله تحت بارگذاری کششی قرار بگیرد و به اندازه 1.5 میلی متر افزایش طول میده. در اینصورت کرنش برابر است با:

در عمل واحدهای مربوط به δ  و L به خود کرنش ملحق میشن و سپس کرنش بصورت هایی نظیر mm/m  و μm/m و in/in بیان میشه. برای مثال کرنش در معادله اخیر بصورت 150μm/m یا  6-^10×150 متر بر متر نشان داد. کرنش را هنگامی که مقدارش بزرگ باشد، بصورت درصد بیان می کنند (مثلا 0.15%).

 

3- ترسیم منحنی تنش و کرنش

 

1-3- تست کشش یا فشار

ارتباط بین تنش و کرنش در یک ماده بوسیله تست فشاری یا کششی ماده بدست میاد. از تست کششی برای موادی که استحکام کششی زیادی دارن مثل فولاد و از تست فشاری برای موادی که استحکام کششی کمی دارن مثل بتن استفاده میشه. یک نمونه از دستگاه تست کشش فولاد (دستگاه یونیورسال) و فشار بتن (دستگاه جک بتن شکن) در شکل زیر نشان داده شده است (اگه از سه جلسه غیبت کلاس آزمایشگاه مقاومت مصالح استفاده نکرده باشین، حتما با این دستگاه ها از نزدیک آشنا شدین😉).

 

2-3- منحنی تنش-کرنش

در این تست نیروی محوری اعمال شده به نمونه بصورت پیوسته افزایش داده میشه و تغییرشکل معادل نیروی اعمال نیز اندازه گیری میشه. با مقادیر ثبت شده از تست، میتونیم منحنی بار- تغییرشکل ماده رو ترسیم کنیم. نتایج این منحنی (بار-تغییرشکل) به اندازه نمونه ها وابستست. از اونجا که طراحی سازه ای که قسمت های مختلف اون، هم اندازه نمونه های آزمایشی باشن کار غیرممکنیه، لازمه که نتایج آزمایش رو بصورتی بیان کنیم که بتونیم اون ها رو در مورد هر عضو با هر اندازه استفاده  کنیم. یکی از راه های ساده برای رسیدن به این منظور، تبدیل مقدار بار به مقدار تنش و تبدیل مقدار تغییرشکل به مقدار کرنشه (این منحنی  برای مهندسا یک آچار فرانسه واقعیه🔧😁).

نکته: منحنی تنش-کرنش مواد گوناگون تفاوت زیادی با هم دارن. حتی آزمایش های متفاوت انجام شده بر روی ماده ای یکسان هم ممکنه نتایج متفاوت داشته باشه که بستگی به دمای نمونه و سرعت بارگذاری داره.

 

4- تنش-کرنش حقیقی

 

1-4- تفاوت تنش-کرنش مهندسی و تنش-کرنش حقیقی

چنانچه نمونه تحت بار تغییرشکل بده، سطح اولیه (A0) با افزایش بار کم میشه. تنش مهندسی تغییرات سطح رو درنظر نمیگیره ( براساس سطح اولیه (A0) است) ولی تنش حقیقی تغییرات سطح رو در نظر میگیره (کلن مهندسا در قید و بند دقت نیستن، در قید و بند سرعت و سهولتن🤭).

بدلیل اینکه تنش مهندسی از تقسیم نیرو بر سطح اولیه (A0) بدست میاد، منحنی تنش-کرنش مهندسی مشابه شکل منحنی بار-تغییرشکله. منحنی تنش-کرنش مهندسی بعد از رسیدن به مقامت نهایی افت میکنه چراکه نیرویی که مصالح میتونن تحمل کنن کم میشه (بعلت باریک شدگی). با این حال، مقدار تنش در منحنی تنش-کرنش حقیقی همیشه با افزایش کرنش، زیاد میشه. دلیلش اینه که از مقدار بروزشده سطح برای محاسبه تنش حقیقی استفاده میشه. حتی وقتیکه نیروی قابل تحمل مصالح کم میشه، کاهش در سطح نمونه، کاهش نیرو رو جبران میکنه و تنش پیوسته زیاد میشه. البته تنش حقیق و تنش مهندسی در ناحیه الاستیک منحنی تنش-کرنش،  یکسان هستن. از اونجایی که مهندسا معمولا در ناحیه الاستیک کار می کنن، کار با تنش مهندسی بجای تنش حقیقی مشکلی ایجاد نمیکنه.

 

 

2-4– علت محبوبیت تنش-کرنش مهندسی 

مهندسا به دو دلیل زیر معمولا با تنش مهندسی کار میکنن:

• برای یک منحنی تنش-کرنش حقیق تجهیزات آزمایشگاهی ویژه ای نیازه. منحنی تنش کرنش مهندسی خیلی آسون تر و مقرون بصرفه تره.
• تشخیص ویژگی هایی شبیه مقاومت نهایی در منحنی تنش حقیقی مشکله ولی در منحنی تنش مهندسی براحتی قابل تشخیصه.

 

5- منحنی تنش-کرنش فولاد

 

1-5- شکل کلی منحنی تنش-کرنش فولاد

فولاد ساختمانی یکی از پرمصرف ترین فلزاته که در ساختمان ها ، پل ها و برج ها و بسیاری از انواع دیگر سازه ها مورد استفاده قرار میگیره (دلیلشم که  همه میدونین، آفرین خواص مکانیکی مناسب و جوش پذیری خوب👏).  انجام تست کشش متداول ترین آزمون برای بدست آوردن مشخصات مکانیکی فلزاته. شکل کلی منحنی تنش-کرنش فولاد تحت تست کشش در شکل زیر نشان داده شده است. در این منحنی تنش روی محور عمودی و کرنش روی محور افقی ترسیم میشه.

 

 

2-5- نامگذاری فولاد

st 37 و st 52 دو نوع فولاد ساختمانی متداول در کشور ما هستن (فرقشون تو دوز کربن، کربن st 52 پرملات تره😄). نامگذاری فولاد در کشورمان براساس استاندارد DIN آلمانه. در این نامگذاری ابتدا دو حرف St که نشان دهنده فولاد ساختمانی معمولیه آورده میشه و بعد مقدار حداقل استحکام کششی  نهایی بر حسب کیلوگرم بر میلیمتر مربع میاد. پس st 37 دارای مقاومت نهایی 37 و st 52 دارای مقاومت نهایی 52 کیلوگرم بر میلی متر مربعه. 

 

 

منحنی تنش-کرنش این دو نوع فولاد و مقادیر تنش تسلیم وتنش نهایی آن ها بدین گونه است:

 

 

استفاده از St 52 به جای St 37  ممکن است موجب کاهش وزن فولاد مصرفی و اقتصادی شدن طرح بشه ولی با توجه به اینکه مقدار کربن در این نوع فولاد بیشتره، شکل پذیری کمتر میشه.

 

6- منحنی تنش-کرنش بتن

 

1-6- شکل کلی منحنی تنش-کرنش بتن

بتن یکی از پرکاربردترین مصالح در ساختمان سازی محسوب میشه (هم مواد اولیه اش در دسترسه، هم دوام بالایی داره وهم ارزونه. حالا ناشکری نیس بگین مقاومت کششیش پایینه😑). کیفیت بتن بسیار مهمه و یکی از راه های تست کیفیت بتن، استفاده از آزمون مقاومت فشاریه.  شکل کلی منحنی تنش- کرنش بتن تحت آزمون مقاومت فشاری در شکل زیر نشان داده شده است.

 

 

 

همانطور که درشکل مشاهده میکنید، منحنی تنش-کرنش بتن برخلاف منحنی تنش-کرنش فولاد بصورت خطی نبوده و برای بدست آوردن برخی مشخصات مکانیکی با مشکلاتی روبرو هستیم (مشکلی نیست که آسان نشود مهندس باید که هراسان نشود☺): 

1- فاقد یک نقطه تسلیم مشخصه: در اینگونه منحنی های تنش-کرنش با استفاده از روش آفست یک تنش تسلیم اختیاری برای ماده تعریف میشه.در این روش یک خط مستقیم از نقطه ای که کرنش آن حدود 0.002 است به موازات قسمتی خطی منحنی تنش-کرنش رسم میشه. محل تلاقی این خط و منحنی تنش-کرنش معرف نقطه تسلیمه.

2- فاقد مدول الاستیسته مشخصه: شیب خطی که نقطه ابتدای منحنی را به نقطه 0.5fc متصل میکنه رو به عنوان مدول الاستیسته بتن در نظر گرفته میشه.  

 

2-6- نامگذاری بتن

بتن بر حسب مقاومت فشاری نمونه بعمل آمده پس از 28 روز تیپ بندی میشه. رده بندی بتن آماده براساس مقاومت مشخصه آن به ترتیب زیر انجام میشه:

C6   C8   C10  C12  C16  C20  C25  C30  C35  C40  C45 C50

که اعداد بعد از C نشانه مقاومت فشاری مشخصه بتن برحسب مگاپاسکاله. پس بتن C50 دارای مقاومت فشاری 50 مگاپاسکاله (مهندس جان این تبدیل واحدها رو یاد بگیر که آش کشک خالس👱‍♀️).

نکته : فقط بتن های رده C20  و بالاتر رو میتونیم در بتن آرمه استفاده کنیم.

 

7- تاثیر مقاومت بر منحنی تنش- کرنش

 با توجه به اشکال زیر، میشه نتیجه گرفت که با افزایش مقاومت فولاد و بتن، تغییرشکل (کرنش) نمونه کم میشه (کلا شکل پذیری و مقاومت مثل جن و بسم الله میمونن، یکی زیاد بشه اون یکی کم میشه👻).

 

 

 

 

اگر نمونه بتنی در زمان بارگذاری تحت تاثیر فشار جانبی قرار بگیره، شرايط نمونه به صورت محصور شده تلقی شده و منحنی تنش- کرنش به صورت اساسی بهبود پیدا میکنه. در این حالت مقاومت فشاری و کرنش نهايی نمونه به میزان قابل توجهی افزایش پیدا میکنه.

اگر در يک عضو بتنی از میلگردهای عرضی به شکل دورپیچ و يا فواصل نزديک استفاده کنیم، تا حدی شرايط محصور شدگی فراهم میشه. ايجاد شرايط محصور شدگی رفتار به مراتب نرمتر و شکل پذيرتری را برای عضو بتنی فراهم میکنه. چنین رفتاری برای تامین شکل پذيری سازه در مقابل زلزله و ساير بارهای ارتعاشی، به دلیل امکان جذب انرژی ايجاد شده توسط عضو، بسیار مناسب تلقی میشه. شکل زير مقايسه منحنی تنش- کرنش بتن را در شرايط معمولی و شرايط محصور شده رو نمايش میده.

 

 

 

8- تفاوت منحنی تنش-کرنش فولاد و بتن

سه تفاوت اصلی در منحنی تنش-کرنش فولاد و بتن عبارتند از (میگن هر ارزونی بی حکمت نیست همینه هااااا🤪):

1- در تحلیل خطی مقدار مدول الاستیسته فولاد (Es) برای انواع مختلف ثابت بوده و برابر است با:

در تحلیل خطی مقدار مدول الاستیسته بتن (Ec) با توجه به وزن مخصوص  و مقاومت فشاری آن با استفاده از رابطه زیر بدست می آید:

fc مقاومت فشاری مشخصه بتن برحسب مگاپاسکال

γc وزن مخصوص بتن که در محدوده ی15-25 کیلونیوتن بر مترمکعب است، برحسب کیلونیوتن بر مترمکعب

برای بتن های متداول در سازه های بتنی مقدار مدول الاستیسته بتن (Ec) برابر است با:

پس می توان گفت مدول الاستیسته فولاد (سختی فولاد) تقریبا ده برابر مدول الاستیسته بتن (سختی بتن) است.

2- کرنش نهایی فولاد حدود 100 برابر بیشتر از کرنش نهایی بتن است.

3- مقاومت نهایی فولاد حدود 10 برابر بیشتر است از مقاومت نهایی بتن است.

 

 

9- نواحی مختلف در منحنی تنش-کرنش

 

1-9- حدتناسب:

قسمت اول نمودار یک خط مستقیمه. در طول خط OA نتنها رابطه بین تنش و کرنش خطیه بلکه متناسب هم هستن. به مقدار تنش در آخرین نقطه این خط (نقطه A)، حد تناسب میگن (بعد از این نقطه تناسبی بین تنش و کرنش وجود نداره). شیب این خط بیان کننده مقدار مدول الاستیسیته (ضریب الاستیک) است. دراین ناحیه رابطه تنش و کرنش خطی بوده و مصالح از قانون هوک پیروی می کند. 

 

2-9- حدالاستیک:

بعد از حد تناسب، در ناحیه AB، به ازای هر افزایش کوچک درمقدار تنش، کرنش با سرعت بیشتری زیاد میشه. درنتیجه شیب منحنی تنش-کرنش مرتبا کم میشه تا در نقطه B بصورت افقی درمیاد، این نقطه به حد الاستیک معروفه. در واقع حدالاستیک حداکثر مقدار تنشی است که هیچ تغییر شکل دائمی ای در ماده به وجود نمیاد. در فاصله بین حد تناسب و حد الاستیک، منحنی به صورت خطی نیست اما ماده هنوز در ناحیه الاستیک قرار دارد و اگر بارگذاری در این نقطه یا پایین‌تر از آن متوقف بشه، نمونه به طول اولیه خود بازمی‌گردد. فراتر از حد تناسب رابطه تنش کرنش بصورت خطی نیست. تااین نقطه تغییرشکل برگشت پذیر است.

 

3-9- تنش تسلیم:

از نقطه C تا نقطه D، بدون افزایش چشمگیر در مقدار نیرو، افزایش طول قابل توجهی در نمونه بوجود میاد. این پدیده را تسلیم ماده و به نقطه C که از آن به بعد، میزان کرنش با سرعت زیادی افزایش پیدا میکنه، نقطه تسلیم میگن. تنش مربوط به این نقطه به تنش تسلیم معروفه. در این ناحیه، ماده بصورت کاملا پلاستیک (مومسان) درمیاد.

 

4-9- تنش نهایی:

پس از تحمل کرنش های بزرگ در جریان تسلیم ماده، کرنش سختی فولاد آغاز میشه (ناحیه DE). در جریان کرنش سخت شوندگی یکسری تغییرات در ساختار کریستالی ماده بوجود میاد که باعث افزایش مقاومت در برابر تغییرشکل های بعدی میشه. برای افزایش طول نمونه در این ناحیه لازمه که نیروی کششی رو زیاد بکنیم.  بنابراین نمودار تنش-کرنش از D تا E دارای شیب مثبته. تنش در نقطه E به حداکثر مقدارش در منحنی تنش-کرنش میرسه، که به تنش نهایی معروفه. تنش نهایی همان مقاومت نهایی و مقاومت کششی ماده است.

 

5-9- تنش شکست:

کشش در نمونه باعث کاهش سطح مقطع میشه. کاهش سطح مقطع تا نقطه D تاثیر قابل ملاحظه ای برنمونه نداره اما از نقطه F به بعد کاهش سطح مقطع قابل رویت بوده و یک لاغری و یا گلویی در نمونه ایجاد میشه. بدلیل این کاهش سطح مقطع، ظرفیت باربری نمونه  کم میشه (نه بخاطر افت مقاومت ماده) تا اینکه ماده در نقطه F  شکسته شده و به دو قسمت تقسیم می‌شود.

 

6-9- تنش شکست حقیقی:

اگر کاهش سطح مقطع (در ناحیه باریک شدگی) رو در محاسبه تنش درنظر بگیریم، منحنی تنش-کرنش حقیقی (خط DG) بدست میاد. ماده در برابر هرگونه افزایش در تنش حقیقی تا نقطه گسیختگی G از خود مقاومت نشان می دهد.

 

 

10- کرنش الاستیک و کرنش پلاستیک

یک ماده را بصورتی بارگذاری میکنیم که در منحنی تنش-کرنشش از نقطه A تجاوز نکنه. حال اگر بار رو حذف کنیم، ماده دقیقا همان مسیر بارگذاری را بصورت بلعکس طی میکنه و به نقطه O برمیگرده. این خاصیت ماده که بموجب آن ماده در جریان باربرداری به ابعاد اولیه خود برمیگرده رو الاستیسیته و خود ماده را الاستیک میگن.

نکته مهم: برای الاستیک بودن یک ماده، لازم نیست که منحنی تنش-کرنش از O تا A حتمن خطی باشه (تو مثال ما این مسیر خطیه).

اگر همون ماده را بصورتی بارگذاری کنیم که در منحنی تنش-کرنشش از نقطه A تجاوز کرده و به نقطه B برسد. بعد از حذف بار، ماده مسیر BC را در روی نمودار طی میکنه (خط باربرداری موازی بخش اول منحنی بارگذاریه). با رسیدن به نقطه ی C، بار کاملا برداشته شده اما یک کرنش پلاستیک (ماندگار) که مقدارش برابر OC است در ماده باقی میماند. از کل کرنش OD ایجاد شده در ماده (براثر بارگذاری) با حذف بار، کرنش CD بصورت الاستیک برگشت میکنه و کرنش OC بصورت کرنش پلاستیک باقی میمونه. 

 

 

 

11- بارگذاری مجدد یک ماده

در بارگذاری مجدد ماده، یکی از حالات زیر اتفاق میوفته: 

 

1-11- اگر ماده قبلا در محدوده الاستیک بارگذاری شده باشه:

در این حالت، ساختمان داخلی ماده  خواص ماده تغییر نمیکنه. با توجه به شکل، پس از بارگذاری ماده (در محدوه الاستیک) در منحنی تنش-کرنش از نقطه O به نقطه A میرسیم، سپس بار برداشته شده و به نقطه O میرسیم. حالا اگر این ماده مجدد بارگذاری بشه، بدون اونکه تغییر قابل ملاحظه ای در رفتار ماده بوجود بیاد باید مسیر OABD رو طی بکنه تا گسیخته بشه.

 

2-11- اگر ماده قبلا در محدوده پلاستیک بارگذاری شده باشه:

در این حالت، ساختمان داخلی ماده عوض میشه و خواص ماده تغییر میکنه. با توجه به شکل، پس از بارگذاری ماده (در محدوده پلاستیک) در منحنی تنش-کرنش از نقطه O به نقطه B میرسیم، سپس بار برداشته شده و به نقطه C میرسیم.  حالا اگه این ماده مجدد بارگذاری بشه، بارگذاری جدید بجای نقطه O از نقطه C شروع میشه و مسیر CBD رو طی میکنه تا گسیخته بشه. در جریان بارگذاری دوم ماده از C تا B بصورت الاستیک عمل میکنه و درنتیجه حد الاستیک نسبت به قبل بیشتر میشه (قبلا OA بود).

اینکه حد الاستیک در بارگذاری دوم (CB) بیشتر از حد الاستیک در بارگذاری اوله (OA)، میتونیم بگیم ماده در بارگذاری دوم رفتار بهتری نشون میده ؟ (میگن زود قضاوت نکنید همینه هااااا😶) خیر، درسته که حد الاستیک ماده زیاد شده اما شکل پذیری ماده کم شده. در بارگذاری اول ماده مسیر طولانی تر رو طی میکنه تا گسیخته بشه (OABD) اما در بارگذاری دوم این مسیر کوتاه تره (CBD).